यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ है,तो $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ और $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. यदि $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ है,तो $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ एक फलन है जो $f^{\prime}(x)=f(x)$ को संतुष्ट करता है और $f(0)=1$ है,तथा $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x)+g(x)=x^2$ को संतुष्ट करता है,तो समाकलन $\int_0^1 f(x) g(x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।